Верно: операция (на чем?) на глазах, на позвоночнике, на желудке.
Запятая не нужна.
Да, нужна.
Как правило: крем для ухода за кожей вокруг глаз, крем от морщин вокруг глаз, крем для век и т. д.
Правильно: слезы навернулись на глазах.
Запятую ставить не нужно.
Первый вариант предпочтителен.
Корректно: закапать (лекарство) в нос, в глаза...